\chapter{Introdu\c{c}\~{a}o}

A origem  deste assunto reside na tentativa humana de superar o imprevisivel e o medo que este evoca.
Trata-se de temor diante daquilo que n\~{a}o se pode controlar e remonta aos prim\'{o}rdios da humanidade.
Teremos ca\c{c}a hoje? H\'{a} frutas no vale depois daquelas montanhas? Vamos conseguir comer?
Todas s\~{a}o perguntas que se confundem com o nascimento da condi\c{c}\~{a}o humana e s\~{a}o centrais para sobreviv\^{e}ncia.

Naturamente a altern\^{a}ncia entre tempos de fartura e pen\'{u}ria induziram ao culto de deuses caprichosos
em sua generosidade entremeada por f\'{u}ria vingativa num quadro de misticismo que atrasou a busca por
compreender as regularidades que caracterizam o dia-a-dia, i. e. daquilo que hoje chamamos de probabilidades.

H\'{a} mesmo quem argumente [ ] que civiliza\c{c}\~{a}o nada mais \'{e} do que a busca humana
por certezas. De fato, foi no contexto de relativa certeza das inunda\c{c}\~{o}es de um rio, o Nilo, \'{e} que nasceu
 a civiliza\c{c}\~{a}o. A primeira coisa a ser racionalizada, por causa das cheias e vazantes do rio,
foi a geometria [ ]. Isto porque dela dependia um antigo pilar da civiliza\c{c}\~{a}o: o imposto que 
era estipulado em fun\c{c}\~{a}o da \'{a}rea a ser cultivada e que precisava ser redemarcada a cada esta\c{c}\~{a}o quando o rio
retornava a um leito diferente. Os conhecimentos pr\'{a}ticos dos eg\'{i}pcios atingiram sua sistematiza\c{c}\~{a}o
ainda no per\'{i}odo hel\^{e}nico. 

\'{E} no contexto do sedentarismo agricola destes tempos \'{e} que as pessoas
tamb\'{e}m adquirem tempo livre - cuja dissipa\c{c}\~{a}o induz ao aparecimento de jogos. 
Um bom exemplo tamb\'{e}m vem do Egito atrav\'{e}s do jogo de \textit{senet} em que pe\c{c}as 
se movem num tabuleiro segundo o sorteio de passos feito com gravetos\footnote{http://www.ancientegypt.co.uk/activity/main.html}.

Tamb\'{e}m na express\~{a}o liter\'{a}ria, v\^{e}-se a atribui\c{c}\~{a}o d\'{i}vina
daquilo que hoje denominamos acaso: a deusa Fortuna, aparece na obra de Arist\'{o}fanes, 
como algu\'{e}m que distribui suas gra\c{c}as de forma desvinculada de m\'{e}rito por ser cega. 
Quais seriam as consequ\^{e}ncias de cur\'{a}-la? \'{E} isto que a pe\c{c}a Riqueza desse autor explora [ ].


\'{E} c\'{e}lebre a frase de Julio Cesar: \textit{Alea Jacta est}  ao queimar atr\'as de si a 
ponte por onde suas tropas poderiam fugir e evitar seu inimigo. 
O fen\^{o}meno social do jogo tornou-se t\~{a}o difundido que jogar de dados (\textit{alea} em latim)
com o aux\'{i}lio
de peda\c{c}os de ossos (ditos \textit{astralgi}) chegou a ser objeto de um tratado de conselhos
para o jogo escrito pelo imperador romano Claudio.[ ]

Em muitos casos, a vontade dos deuses tamb\'{e}m era interpretada por atos divinat\'{o}rios envolvendo coisas como a leitura 
das entranhas de animais, de folhas de ch\'{a} e sorteios como no caso do I Ching, ou mesmo b\'{u}zios, coisas ainda praticados 
por muitos mesmo hoje em dia. Vale notar a contraposi\c{c}\~{a}o deste estado de coisas com a inevitabilidade pretendida pela
astrologia mais afeita ao destino escrito nas estrelas.

Muito desta panor\^{a}mica mudou como o fortalecimento do cristianismo no Ocidente, que
contudo, apesar do seu rigor, falhou em eliminar o interesse por jogos que se retoma com
for\c{c}a na Renascen\c{c}a, quando livres do misticismo pag\~{a}o, inicia o estudo 
sistem\'{a}tico de como encontrar vantagens em jogos. A figura hist\'{o}rica e
pol\^{e}mica de Cardano \'{e} a que melhor simboliza este esfor\c{c}os. Quase todos 
os resultados deste per\'{i}odo baseiam-se em abordagens particulares
destituidas de um fio de meada explicito mas que tem em comum, ainda de forma implicita,
a no\c{c}\~{a}o de que as alternativas de um jogo s\~{a}o essencialmente indistingu\'{i}veis.

Um outro contexto, em que a analogia dos jogos \'{e} inevit\'{a}vel, \'{e} o dos seguros
\footnote{No ocidente estes iniciaram num pub ingl\^{e}s, o Lloyds que ainda
\'{e} o nome de uma das maiores seguradoras mundiais. Deve-se notar, contudo que
\'{a}rabes no Cairo muito antes j\'{a} faziam uso de contratos  de risco.} 
ligados com o com\'{e}rcio induzido pelas \`{a}s grandes
navega\c{c}\~{o}es e seus riscos inerentes. Este tipo de aplica\c{c}\~{a}o ainda 
hoje permanece em diversos aspectos da vida econ\^{o}mica e da avalia\c{c}\~{a}o de investimentos.

Um outro contexto importante envolvendo probabilidades e sua aplica\c{c}\~{a}o pr\'{a}tica \'{e} o dos conflitos armados.
Como se pode ajudar a garantir a vit\'{o}ria? 
Guerra exige que se possa prover tropas - com uniformes - botas que permitam marchar. Mas qual
n\'{u}mero os soldados cal\c{c}am? Como devem ser feitas as encomendas \`{a}s f\'{a}bricas?
Estas necessidades fizeram aparecer uma disciplina - 
a estat\'{i}stica (corruptela da palavra estad\'{i}stica ligada |`{a} ger\^{e}ncia do 
Estado) e que tem \'{i}ntimas rela\c{c}\~{o}es com probabilidades e na realidade mesmo pode ser 
vista como seu lado pr\'{a}tico.

Aqui talvez valha a pena fazer algumas considera\c{c}\~{o}es num\'{e}ricas. Suponha que
seja necess\'{a}rio recrutar um milh\~{a}o de soldados rapidamente. Para saber quantos 
cal\c{c}am um dado n\'{u}mero a primeira id\'{e}ia seria o m\'{e}todo 'Cinderela' testando
todos. Mas isto \'{e} muito caro, principalmente se for necess\'{a}rio provisionar os soldados
antecipadamente pr\'{e}-estocando material al\'{e}m talvez de nem se justificar politicamente. Um jeito
seria selecionar $N$ poss\'{i}veis recrutas e verificar quantos $n$ destes cal\c{c}ariam um
certo n\'{u}mero.

A propor\c{c}\~{a}o 
\begin{equation}
 \frac{n}{N} 
\label{propdef1}
\end{equation}
corresponde a uma medida da \textit{chance} de que algu\'{e}m calce o n\'{u}mero em quest\~{a}o.
Parece intuitivo que se $N$ fosse igual ao n\'{u}mero $N_t$, de todos os poss\'{i}veis 
recrutas, esta medida seria exatamente $p_t$ a propor\c{c}\~{a}m desta popula\c{a}o
que cal\c{c}a o n\'{u}mero de interesse. Assim, \'{e} razo\'{a}vel que
se $N$ fosse suficientemente grande, mas ainda muito menor que $N_t$  deveria-se esperar
que
\begin{equation}
\lim\limits_{N\rightarrow\infty} \frac{n}{N}=p_t
\label{eq:probfreq}
\end{equation}
i.e. a contagem dos casos favor\'{a}veis para $N$ suficientemente grande
deveria 'convergir' para $p_t$. Um dos problemas que a teoria
de probabilidades deve responder \'{e} o tamanho de $N$ para que se
possa ter uma precis\~{a}o adequada da medida de $p_t$. \'{E} claro que
na pr\'{a}tica, por quest\~{o}es de custos, interessa que $N$ seja o menor
poss\'{i}vel.

Este tipo de procedimento corresponde \`{a}quilo que se chamou de
defini\c{c}\~{a}o frequentista de probabilidades. Na realidade a 
abordagem te\'{o}rica do frequentismo exige que ao menos te\'{o}ricamente
se possa realizar o teste de quantas vezes a op\c{c}\~{a}o de interesse
ocorre em $N$ repeti\c{c}\~{o}es do processo de medida. No contexto de
teoria de probabilidade costuma-se chamar de '\textit{experimento}' probabil\'{i}stico
a este processo de medida (sorteio). 

A esta altura vale a pena considerar o seguinte problema que tem 
um papel paradigm\'{a}tico em probabilidades at\'{e} porque
ilustra muito bem a no\c{c}\~{a}o de imprevisibilidade associada
a regularidades que s\~{a}o centrais para definir o que \'{e} 
poss\'{i}vel apreender de fen\^{o}menos que envolvem fatores incontrol\'{a}veis.
A pergunta \'{e}: lan\c{a}ndo uma moeda, qual face cair\'{a} para cima? Cara (C)
ou coroa (K)?  Tantas quantas forem as tentativas, sabe-se que ser\~{a}o
difierentes os resultados. Uma sequ\^{e}ncia exemplo de 10 jogadas sucessivas,
poderia ser anotada como:

$$CCKCCCKCKC$$

Obviamente, n\~{a}o h\'{a} como prever o resultado da pr\'{o}xima jogada, por\'{e}m,
no contexto de (\ref{eq:probfreq}), o registro de lan\c{c}amentos repetidos
de uma moeda possuem a regularidade representada na Fig. \ref{fig:moedas} que
mostra a evolu\c{c}\~{a}o da raz\~{a}o de contagem relativa de ocorr\^{e}ncias
de caras ($n_c$) em fun\c{c}\~{a}o de $N$ crescente. Para n\~{a}o polu\'{i}-la, a figura mostra apenas
2 repeti\c{c}\~{o}es do lan\c{c}amento de at\'{e} $N=500$. Os exemplos 
todos convergem para pr\'{o}ximo de $0,5$  que representa a propor\c{c}\~{a}o
que se esperaria observar de ocorr\^{e}ncias de moedas que caem mostrando a face cara. 
Aqui h\'{a} duas observa\c{c}\~{o}es: (a) a 'indiferen\c{c}a' (simetria) entre
os resultados poss\'{i}veis neste caso serviu de base para a
argumenta\c{c}\~{a}o usada nas solu\c{c}\~{o}es te\'{o}ricas relativas a
probabilidades desde Cardano e (b) a 'converg\^{e}ncia' que se observa n\~{a}o
\'{e} semelhante \`{a}quela do c\'{a}lculo: sequ\^{e}ncias distintas 
de tentativas como as tr\^{e}s mostradas se aproximam do valor $0,5$ de forma
diferente sem que este valor jamais seja atingido exatamente.

\begin{figure}[htb]
\begin{center}
\includegraphics[height=4in,width=5in]{./figuras/c1_f1_fracao_caras.pdf}
\caption{Ilustra\c{c}\~{a}o de duas sequ\^{e}ncias de lan\c{c}amentos de moedas mostrando a propor\c{c}\~{a}o
de caras obtidas a medida que o n\'{u}mero de jogadas aumenta. V\^{e}-se que a propor\c{c}\~{a}o flutua para
poucas jogadas, mas converge para o valor $0,5$ a medida que h\'{a} mais jogadas.}
\label{fig:moedas}
\end{center}
\end{figure}

A abordagem frequentista como a adotada na Fig. ~\ref{fig:moedas} foi popular no
final do s\'{e}culo XIX. Contudo, a teoria na sua forma original possui problemas de
circularidade l\'{o}gica especialmente
no que tange a como definir o que se entende por 'converg\^{e}ncia'.
A solu\c{c}\~{a}o destas dificuldades precisou esperar o trabalho de Kolmogorov
em meados dos anos 20 do s\'{e}culo XX que axiomatizou a teoria. Nos
cap\'{i}tulos seguintes ser\'{a} adotada exatamente a abordagem de Kolmogorov.

Vale lembrar que as abordagens probabil\'{i}sticas aplicadas a jogos
no \'{i}nicio da racionaliza\c{c}\~{a}o  do assunto no sec. XV tamb\'{e}m implicitamente
baseiam-se na contagem de casos favor\'{a}veis e dependem de forma muito
grande de resultados de an\'{a}lise combinat\'{o}ria, revisada aqui tamb\'{e}m
brevemente ( ).

Antes de finalizar este cap\'{i}tulo,  \'{e} preciso mencionar outras
abordagens ligadas a probabilidades: a op\c{c}\~{a}o  'bayesiana' e a devida
a Keynes, mas que requerem que se avance na exposi\c{c}\~{a}o da teoria, j\'{a}
que s\~{a}o op\c{c}\~{o}es que revem operacional e conceitualmente paradoxos
aparentes da Teoria de Kolmogorov.

